@Mandelbrot 的回答固然很有趣，可惜脑洞不够科学。简单来说，理论上讲，环状旋转的自引力系统的确有可能存在，但几乎必然是很不稳定的。就算存在，自转速度也比他的回答中给出的每天三小时高得多。仅仅是加速现有地球的自转到三小时，是不可能获得环形地球的（角动量守恒，环状地球的转动惯量比椭球状大得多得多）。
首先，就像知乎战舰世界第一大神
所说的那样，旋转物体在引力作用下的能量最低状态的形状是马克劳林椭球。只要星体足够大，引力势能足够产生高温/高压融化星体，那么『液态』的星体自然就会变成椭球。实际上，这个椭球的形状是可以由星体密度和旋转角速度唯一确定：
(见
博士的论文
）
也就是
这里 是和椭球形状有关的参数，由于是旋转对称椭球，从侧面看，轴向半短轴为b（z方向），径向半长轴为a，那么
我们很容易验证这个式子，把地球的数据带入：
极半径 6357km
赤道半径 6378km
平均密度 5.5g/cm^3
得到角速度换算成自转周期就是27.5小时，和实际值非常接近。出现误差的原因相信大家也可以想到，不过我还是细说一下。
相信大家也注意到了，这个公式里角速度和密度 都是常数，也就是说，马克劳林椭球解对应的是不可压缩流体的整体旋转。换言之，虽然我们求解的是不可压缩流体的能量最低状态，得出的结果却和一个刚体等效。而地球显然不是不可压缩的，各处的密度也有差异，实际上如果组成地球的物质都放在常压下，地球的平均密度只有4.4g/cm^3，比引力压缩后要低20%。地球的各个部分也和严格刚体相差甚远，无论是表面的海洋还是内部的岩浆，都在缓慢的运动。
假如我们希望地球变得更扁，比如赤道半径是极半径的两倍，这时候,带入这个式子得到,对应的自转周期是两个半小时，这已经比@Maldelbrot 所谓的极限值（三小时）要短了。
当然，转的这么快，总觉得会出现一些不稳定。钱德拉塞卡在1965年的两篇文章分析了广义相对论效应在高速旋转时可能产生的不稳定性。当然这种计算不是直接在广相框架下实现的，而是把广义相对论效应分解成级数作为牛顿力学的高阶项，一般称为post-newtonian gravity。这种不稳定性限制了椭球的最高转速，也就是旋转动能和引力势能之比，上限差不多是0.14。对于我们的地球来讲，这个值差不多是千分之一。如果加速到上述的2.5个小时，比值会增加到0.1，的确很接近上限。
而Lindblom & Detweiler 1976指出，如果流体具有适当的粘度，就有可能恰好把引力造成的不稳定耗散掉。在他们的计算中，动能/势能即使在0.27时也可以有稳定的构型。这时候的周期不到两小时。
话说回来，旋转星体的平衡构型这种问题，就像 知乎坦克世界第二大神
所说的那样，的确是一座老坟。 自牛顿起就有无数人投身其中，随便列几个名字相信大家（特别是理科生）都耳熟能详：马克劳林，雅克比，拉格朗日，勒让德，达朗贝尔，戴德金，狄利克雷，黎曼，庞加莱，李雅普诺夫……（见
） 。科学界著名的挖坟狂魔钱德拉塞卡在1966年写过一篇总结 Ellipsoidal Figures of Equilibrium:Historical Account比较详细的总结了各位大神的研究手段和结论。比如牛顿的方法最简单，他考虑从地球北极和赤道各打一个深井到地心，然后往里面灌水，灌满之后两口井的液体会满足流体静力学平衡，那么这两个液柱的长度就分别是地球的半长轴和半短轴。当时的人们已经能测出两极和赤道的重力加速度（这个不难），由此牛顿推出地球的椭率是1/230， 而03年IERS（国际地球自转和参考系服务）的测量值是1/298，已经很精确了。
牛顿的想法差不多是这样的。
而马克劳林是第一个给出轴对称椭球的一般解的人，由第一个式子也能发现，对于特定的旋转角速度，马克劳林椭球实际有两个，一个很接近球，一个非常扁——譬如当 时，算出的自转周期也是约24小时，显然这时候地球几乎只是个薄盘，虽然自转很慢，但由于半径极大，此时的角动量也极大。雅克比则发现其实更加一般的椭球（并非完全轴对称的三轴椭球）也可存在。
雅克比自己没怎么考虑过雅克比椭球和马克劳林椭球的关系，迈耶（C.O.Meyer）在1842年指出当椭率大于0.81267时，雅克比椭球可以由马克劳林椭球“分叉”出来。迈耶用角速度平方和密度的比值衡量星体旋转，这个值小于0.37423的时候，马克劳林椭球和雅克比椭球都可以存在，在0.37423和0.4492之间时只有马克劳林椭球，更大的话，两个椭球都得玩儿完。
看来角动量大容易出事啊。
这之后关于椭球的讨论，对各位听众来说，实在称不上给力。狄利克雷提出了一个更一般的问题“在什么情况下可以得到一个完全椭球的物体，并且它各部分的速度和坐标呈线性关系？”黎曼做了一些很不错的研究，可惜结论不完全对，之后呢“最后一个数学通才“庞加莱也整了几篇paper，结果也不是很满意。钱德拉塞卡在这里写到：这项研究就这么没有然后了（the subject quietly went into a coma).
然后（怎么还有然后）钱德拉塞卡说，我前几年发了几篇paper，彻底解决了这个问题！不管你是马克劳林椭球还是雅克比椭球，还是黎曼椭球，形状啊稳定性啊我都研究了！大家都不要玩了，回家好好歇着，然后引我的paper吧。
钱德拉塞卡的确对各种椭球做了很彻底的研究，但并没有涉及环状星球，也是，对于这种形状复杂很多的玩意儿，完整的解析分析必然是非常困难的。
1895年，戴森（Dyson）较严格的计算了子午面（也就是沿着旋转轴切一刀的横截面）为正圆以及椭圆的环状星体的引力场。光有平衡构型是不够的，这个构型还必须稳定。埃菲尔铁塔倒着放也能立起来，但巴黎人民肯定不同意。Dyson还同时考虑了几种稳定性 （
）——如果你手里有个甜甜圈，你准备怎么去蹂躏它？（扭扭舔舔泡泡？）于是我们得到了三种稳定性
1.一巴掌拍扁，用非人话说就是环保持轴对称，子午面变形——稳定；
2.拉拉扯扯扭扭：子午面不变形，环所在平面扭曲——稳定；
3.捏一捏掐一掐：子午面形状不变，在不同的位置大小变化，类似香肠——不稳定（搞等体的同学们肯定对此耳熟能详）；
不过我倒是怀疑戴森有没有考虑过这个环本身到底是不是平衡态，毕竟他只考虑了子午面是椭圆的情况，这文章太长，还像哈利波特7一样分成上下两部，我实在没心思看（看了估计也不太懂），还希望知乎天体物理第零大神
前去求证。
较近的理论研究有华裔物理学家Wong Cheuk-Yin在1974年的论文
戴森所研究的环，环本身的宽度和总直径的比值比较小，也就是说，中间的洞比较大而环本身比较窄。Wong的环更接近面包圈，他在文章中表示，对于前两种扰动，『小洞』的环很可能依然保持稳定，而对于第三种香肠扰动，如果引入适当的耗散机制（也就是说，这个星球是由有粘度的液体构成，不会一直瞎晃悠下去），扰动本身又不大，还是可能维持稳定的。不过他也说了，更一般的情况还是数值模拟说了算，解析微扰只有
才能推出来。
实际上，在角动量较大的时候，环状星球还可能具有比椭球更低的总能量。
1977年，Marcus 等人 （
）用数值方法研究了轴对称旋转不可压缩自引力流体的稳定性问题。他们的主要方式就是利用迭代寻找总能量（旋转动能+引力势能）最低的构型。他们发现，当椭球的离心率达到0.9975时（非常扁），具有相同角动量的环的总能量差不多要低3%：
这里虚线代表马克劳林环的横截面。这时候大家可能觉得Mandelbrot的答案没问题，那请看下面这幅图的下半部分，显示的是角速度和半径的关系。对于马克劳林椭球来说，角速度是常数，而马克劳林环则是有内向外逐渐增加角速度，其中最内侧的角速度为零。
按照这项研究，如果想有环状行星的话，那么这颗行星就不能整体旋转而是较差自转。换句话说，这颗行星不同半径的部分都在相互运动——除非整个行星是由无粘度的超流体构成，相互摩擦生热会迅速耗散行星的能量，别忘了这颗行星的自转速度比地球高至少一个量级，赤道部分的线速度超过海平面声速至少十倍。如果是一个固体或者液体行星，高密度的摩擦生热会迅速把整个行星加热到红热状态，行星外侧由于损失角动量会向内侧移动，环的宽度会不断变窄，比较可能的结果是星球解体，外侧物质被高速抛出带走一部分角动量，剩下的部分收缩冷却最后留下一个椭球状的星球。
当然，要是这星球真的存在，比如有引力之外的力量进行约束，或者有个甜甜圈星球的外星人要扮演上帝，引力分布啊，卫星轨道啊也是可以给出来的。有位老外算的倒是挺详细
这应该也是Mandelbrot回答的主要参考。此人计算了大量细环组成的星球的引力势能，再加上旋转产生的等效重力，找到了两种环状平衡构型。他声称这两种构型都是“稳定”的，我并没有看到任何稳定性分析，周期倒都是三小时左右。
其中一种构型的重力大小分布，我倒是希望能看到等势线，看看他给的到底是不是平衡构型、
大家喜闻乐见的卫星轨道。
表面重力分布，红色代表高重力地区。
在黄赤交角（自转轴相对公转平面法线的倾角）和地球相同时对应的四季光照以及对应的温度变化。红色代表高温地区。
