谢邀。从tag来看，我很怀疑题主是否学过泛函分析。如果希尔伯特空间中的标准正交基，结论如下：
几个基础的结论是这样的：一般来说，谈到一个希尔伯特空间的标准正交基，我们指的是 满足下面四个等价条件的中的任何一个：
stein把第一个当成了“定义”。但是，我见过其他版本的“等价”定义。另一个基础的结论是任何“可分”的希尔伯特空间都有一个正交基。stein的书上定义的希尔伯特空间自带可分性，所以他是这样描述的：任何希尔伯特空间都有标准正交基（大家千万别当真了，这也是为什么我让大家一定要注意不同书上的“定义”是有可能有区别的）。
一个空间 如果是一个可分希尔伯特空间 的子空间，通过闭包化，它自然是一个可分的希尔伯特空间，所以，它一定也有标准真交基。
如果题主的意思是“线性代数”意义上的基。但是，任何一个希尔伯特空间都不可能有一个代数意义上的单位正交基。也就是这个基彼此正交，而且任何元素都可以被其中的有限个展开。设 为此类基。我们随便取其中的可数子数 ,然后设
,
你会发现，这个元素不可能被任何 中的“有限个”元素展开。
如果这个空间 不是希尔伯特空间(只是一个内积空间)而且它确实有一个可数的代数意义上的单位正交基 ， 那么这个结论是正确的。方法和有限维几乎一样，设 , 然后设 是任意一个 的子空间，我们注意到
,由于 ,而且每个都是有限维，你可以直接按照Gram-Schmidt 正交化和归纳法找出那个可数正交基。 对于不可数的情况，我们同样可以使用超限归纳版本的Gram-Schmidt正交化过程得到类似的结果。
