虽然教材已经有很完整的推导过程了，不过我还是对目前的不太满意，原因是大多数证明有效边界方程到：
就完了，这个式子很显然几何意义不直观。
吐槽时间：（我发现我们很多学科之间的知识高度割裂，一定程度上也加剧了学生们不求甚解的思维习惯，我们国内高中无论文理科高考明明都必考圆锥曲线题目，但到了本科阶段，估计大部分人都忘了圆锥曲线的定义。我见过的投资学教材都没解释什么叫“双曲线”，更没有把公式写成高中数学习惯的样子。我怀疑那些教师自己都未必了解“双曲线”的定义，只是人云亦云而已。）
我们高中学到的双曲线标准型应当是：
的形式，本着强迫症的原则，我再把方程修改为标准型。
=========================证明开始===========================
对于N个证券的收益率 期望为 ，协方差矩阵为 （假定为正定矩阵，正定也即等价于所有证券收益率都线性不相关且不为常数）。有效边界组合的收益率期望为 ，标准差为 ，权重为 。
为了辅助计算，定义向量（长度为N） 。那么优化问题原来是：
为了使得推导过程更紧凑，再定义 ， ，注意前者是N×2矩阵（必须是列满秩的，即至少有1种风险资产期望收益率与其他不相等），后者是2×1向量。优化问题变为
于是可以利用拉格朗日乘数法：
一阶条件为：
因此
因此
则
易得
这条式子其实已经是教科书里的结果。把它整理为双曲线标准型：
对上式的那个二次型进行配平方：
再移项整理：
化为双曲线标准型：
如果上面式子长得有点丑，那么再整理一下（注意：矩阵 是个2×2正定矩阵）：
对比双曲线图（图来自网络）：
中学所学的双曲线方程：
此时双曲线的半实轴，也即全局方差最小组合的标准差就是 ，半虚轴（可能）没有明确的经济学含义，而 表示全局方差最小组合的收益率。
看，这是不是比教材里的双曲线方程更加直观简洁？
==========================CML的推导=======================
基于该标准型推导CML也比较简洁，假定 是双曲线上的一点，那么过这点的双曲线切线方程就是：
代入可得
其中下标m是最优市场组合，当然是双曲线上的一点。如果无风险资产收益率为 ，代入即得：
整理可得：
令 即所有证券的期望超额收益。则可以把上式整理得
限于篇幅，可算得
再次代入双曲线切线方程，可算得（允许买空卖空/融资融券，且存贷没有利差）：
其中： 为给定无风险利率下的风险资产的最大夏普比率。
注意：根据双曲线的几何性质，如果无风险利率高于全局最小方差组合，那么CML与双曲线的上半部不存在切点。上式的CML与双曲线下半部分相切，切点处对应的是最差市场组合（该组合的夏普比率为 ）。而最优投资组合中，市场组合的份额为负，即为卖空。那么理想状态下所有人都在卖空市场，结果就是股灾。
股灾后股价普遍下跌，收益率上升，双曲线整体上移，直到全局最小方差组合高于无风险利率，CML重新与双曲线上半部相切。
吐槽时间2：【我目前所看到的相关资料都没提到这种特殊情形，一种可能原因是成熟的资本市场很难出现风险资产收益普遍低于无风险利率；但这种情形不仅在理论上是允许的，现实中在发展中国家其实很常见，这些市场上的上市公司明明没有现金利润创造能力但是会讲故事，把股价炒得很高，导致整个资本市场都是垃圾为主，但这些市场缺乏足够的做空机制，导致很难让普通投资者通过砸盘赚钱；另一种可能是教材编者可能不熟悉双曲线的几何性质，甚至未必知道双曲线有“渐近线”，导致不知道CML可能与双曲线上半部无法相切】
======================补充：两种资产的推导======================
两种资产的情形，其实用上面的矩阵计算就可以了。如果非要手动推导，那就相当于把矩阵的每一项都展开计算。当然可以，就是无比复杂。我以前本科刚接触这个理论的时候，还不能熟练使用矩阵运算，所以还真是自己手动推导的。
由于符号太多，我就用Word公式来推导了，不再在知乎上手敲latex代码了。
可以自行验证，这个结果和矩阵计算是一致的。
