听说你们想要 ，好，证明给你们看：
那个，原题还有一个连分数，证明在最后哦！（｡ò ∀ ó｡）这两个证明都是比较初等的。
首先第一步就要吓住你们！
当然了，这个绝对是附加题了，按照契约，在回答最后会补充题目中一个连分数的证明
第一步：
注意到
于是可以收敛地求和：
下式成立：
其中
并且由此对应的
首先考察
于是
把它写成：
求和，上式自带裂项，得到
为了利用类似的部分分式技术
记
下求 ，显然由上定义：
于是，让我们完成复杂的计算，不要害怕哦
（ヽ（≧□≦）ノ）
一般的，我们记
其中
由于 时 收敛
因此必须有
故因为多项式性质 分母没有
那么
因此 因此
完成了证明
下面考虑到 是关于 的有理函数
第二步：定义
定义
下式成立：
我们注意到恒等式
剩下繁琐的计算验证工作省略
放心，还有更繁琐的：
下式成立：
根据前面 可验证原式
然后注意到： 得证
类似的，也可以处理：（一样的递推）
还记得根据前面
（因为 是平凡的）
于是 那条递推式，相当于：
的所有部分分数的分子的和，故
因此 都满足这条递推
第三步：容易归纳得到
而且 这个不好证明，有空补
当然只是收敛性相关的结论，无伤大雅
于是
这样可以写出递推：
于是
于是利用前面 @有丘直方 同学回答的方法，得到
最后是你们想要的最后一组
下式成立
于是根据 的 展式，和裂项技巧
结论易证
现在回到原题，我们写开引理式：
而设
按照连分数的性质，类似的有
考虑
另外数学归纳法可以证明：
因此
剩下验证这与那个无穷级数一致的工作就是很简单的了
