陶哲轩实分析上有一句话“现代分析的一个非凡的成就就是，仅从皮亚诺公理加上集合论ZF公理出发，就可以构建数系，创造函数，并做我们通常所做的全部代数和微积分。”
另外，题主的问题跟不完备性定理没有关系。不完备性定理只是告诉我们，在公理体系中，会有这些公理无法解决的命题，但是这并不会有真正的危害。现在的数学本来就是公理化的，建立在公理之上的。
仅从皮亚诺公理出发，什么也做不了，必须还要有集合论的公理才行，集合论于数学也是根基性的东西。
貌似，欧氏几何和非欧几何也要建立在别的公理之上吧，仅从皮亚诺公理出发也没法完成。
