我觉得用倒易空间的倒格失来证明最简洁明了，详细推导如下：
其中，基失a3我没有在图中画出来，但可以想象得到，就是垂直于纸面的Z轴上模长为c的矢量。
因为是六方晶系，所以基失a1和基失a2的夹角是120度，模长相等设为a。
为了方便后面的矢量计算，将基失a2分解，后面的计算就回归到XYZ直角坐标系下，由于三个轴分别垂直，做矢量叉乘的时候就方便很多。系数相乘得到最终系数，方向由ijk的叉乘确定，其实就是三者的轮换。
其实不管是算七大晶系中的哪一种晶系的面间距，想法都是和这个一样，无非就是找出三个基失，然后求出对应的三个倒空间的基失，再求出G的模长，最后利用面间距d和G模长的关系，求出面间距表达式。
这里面可能会有点麻烦的地方就在于求G的模长，尤其是基失不相互垂直的时候，G的模长就不能简单得认为是三个系数的平方和，需要用sqrt(G·G)来算。
至于面间距d和G模长的关系是怎么得到的，是因为G正好是（hkl)晶面的法线方向，结合密勒指数的定义，用a/h*基失a1和G点乘再除以G的模长，得到的就是面间距d。
其实这些都是固体物理里面的内容，如果你没有学过的话，可能不是很能理解倒易空间和倒格失，我建议还是从最一开始的晶胞、晶体点阵这些开始看起，一步步过来就不会觉得迷茫了，加油！
上面是我们学固体物理的时候推荐的参考书之一，比较适合非物理系同学自学。
这个是我当年自己用的习题集，里面收录了固体物理相关的国内外经典试题，我当时在家上网课，一边学一边做，感觉挺不错的，能更好理解一些基础概念。
