『非初等函数』：无法完全由基本初等函数进行有限次的四则运算和复合步骤表达成显函数或隐函数形式的函数。（这是以本人当前学识水平来表达的，可能有更标准的说法。。。）
举个例子： ，它还包含了积分运算，而且这个积分是积不出来的，即被积函数的原函数无法表达成初等函数(虽然可以利用泰勒展开把积分符号去掉，但是泰勒展开出来的不是初等函数因为有无限次四则运算。。。)。这种是“积不出型”的非初等函数。
来个彪悍的“积不出型”非初等函数：
其他答主提及的函数项级数就是一种非初等函数。比如幂级数 、傅里叶级数 等。
应该还有很多，比如拿一些奇怪的地方做自变量，复合各种非初等结构(比如极限、各类积分、求和符号、求乘积符号、n阶导符号等(脑洞不够大想不到更多的了。。。)，这样就能产生非初等函数，比如：
我都快不知道自己在写什么了 (╯°Д°)╯︵ ┻━┻
复杂数列递推式应该可以使其通式成为非初等函数吧？(猜测.jpg)比如：
，随便给上所需初值，感觉通式不是初等函数。。。
