我之前没想过这个问题或画过图，但我说下从射影空间的角度出发来从头想这类问题，我会怎么想，几何图景是什么。这回答算是我的个人草稿本，不建议微积分或解析几何的学生参考我的回答。本回答（不负责任地）假设读者知道射影空间上的微积分。
如果它有渐近线，说明它与射影空间P^2中的无穷远线([x:y:0]组成的集合)相交，且这条渐近线就是原曲线在交点处的切线. 渐近线在射影空间中是这么读出来的：
1. 曲线与无穷远线的交点P决定渐近线斜率。
2. 曲线在P处的切线方向决定渐近线的截距。
(注意：斜率和截距看起来反了！这就是射影空间的日常)
曲线在射影空间的方程如下：
x^3+y^3=3axyz
现求其与无穷远线的交点P，即是设z=0。有x^3+y^3=0, 故P=[x:y:0]=[1:-1:0].
为求曲线在P的切线方向，我们考虑chart {x=1}. 这样曲线方程变成1+y^3=3ayz, 而P点位置是(y,z)=(-1,0)
z=(1+y^3)/3ay
dz/dy=1/3a * (-1/y^2+2y)
带入(y,z)=(-1,0) 得 切线斜率是1/3a * -3 = -1/a
所以切线的点斜式是 z-0=-1/a (y+1), 整理得
1/a + 1/a y + z=0
放回射影空间，这条切线就是我们要的渐近线！方程为
1/a x + 1/a y + z = 0
由于原问题考虑的xy平面就是射影空间的z=1 chart, 这条直线方程变成
1/a x + 1/a y + 1 = 0
整理得 x + y = -a (或者说y=-x-a, 取决于你喜欢哪个形式)
这就是渐近线方程。
