再订正(20201022)
A,B若不满秩，又正交，A,B就不能互表，但A,B还是等价的。这在原答里已经有了订正。以3阶秩2矩阵为例，此时A,B张成两个平面，若A,B重叠(共面)，则A,B不仅等价，而且互表；若A,B不重叠，也不正交，则A,B互有投影，二者等价；若A,B正交，A,B相互投影为一直线(两平面相交的直线)，投影不为零，A,B还是可以线表对方的“影子(不为零)”，所以，还是等价的，B=PAQ在A,B正交的情况下依然成立。
补(20200801)
根据今日之补出文章“矩阵等价的几何意义”，敬请御览。
在20200726的订正里最后有一问，两个3阶秩2的矩阵A,B，它们各自张成各自的平面，两个平面之间是啥关系，它们才能等价？
先上基本结论：若两个平面正交(两个平面垂直)，它们就没法等价，只要不垂直，就必定能等价。
这个是一般教材里看不到的对矩阵等价的“几何”说明。当然，这只能在3维空间中用平面(秩2)子空间来表达、解释。如果不用“平面”这个几何空间概念来说这事，还有一个办法就是用叉积的内积为零来区分。比如A里(三个列向量)，任何两个不共线的A内向量的叉积形成一个不为零向量，这个向量与叉积成它的这两个向量的每一个都内积为零。在B里也随便选两个不共线的列向量做叉积，也得到一个向量。若A叉积与B叉积的内积为零，A与B就不能等价了。A叉积就是A平面的法向量，而B叉就是B平面的法向量么，两个平面正交，它们的法向量必定是正交的么。所以，这两个叉积形成的两个向量内积为零与两个平面正交是一件事的两个说法，一个几何说法，一个线代说法。
我们在底下(前面)说过，矩阵换列，不改变列向量，只改变列向量的顺序，矩阵张成的空间没变化(还在原平面内)。但矩阵换行则改变了向量，使得向量可能该出原来几个向量分布的平面，就是出了原来列向量所张成的空间了。就像你在一张纸上放了几个大头针，“换列”只是改变了它们在逆时针方向上的前后顺序，但它们还在纸面上。但若换行了，就可能普通让一(或几)根针刺破的纸面，与纸面不在一个平面里了。
本来两个平面是正交的，它们里面的秩2矩阵是不能等价的，但由于一(或几)根针刺破的平面，过这些平面形成的新平面就可能与另外一个平面不正交了。不正交的平面相互间就会产生“投影”，在这个平面上的两个向量只要不共线，它们在另一个平面上的投影就一定不共线，而一个平面上任意两个不共线的向量就能把其它向量都表达(线性组合出来)了。一个矩阵A的在另一个矩阵B平面上有投影，而这个投影可以把另一个矩阵平面B上的所有向量(当然包括组成矩阵B的)线表出来，这就是“等价”A与B等价的几何意义。
从矩阵表达式看，若A,B等价，则可表达为B=PAQ，P,Q可逆，A,B同秩。把等式挪挪位，有P⁻¹B=AQ。
AQ是啥？Y=AQ是A平面里的一个矩阵；P⁻¹B是啥？X=P⁻¹B是P⁻¹里的一个矩阵。两个秩2的矩阵相等，Y=X，说明啥？说明Y与X在一个平面里。本来B与A不在一个平面里的，后来通过掰折了B(用P⁻¹左乘B)里的列向量(换行)，使B“投影”到了A平面上，投影就可以被A表达(组合)了。
反过来，若挪动的是Q，公式就整成了，PA=BQ⁻¹，P把A掰折(投影)到了B平面上，这些投影就可以被B表达(组合)了。
所以，可以有一个结论：矩阵等价不必互表，但本尊与对方投影之间必须轮流能互表，这就是矩阵的等价关系。若无投影(两平面正交，法向量正交)，则必不能等价。
这个解释你多半没见过，或是本答首创。
订正(20200726)
@Roreuqnoc 指出，的有道理，“不互表，不等价”的说法好像不对。这里涉及“换行”与“换列”的差别，之前没想清楚。
以3阶秩2矩阵为例。A(a₁,a,₂a₃)换列后得到B(a₂,a₃,a₁)。A与B虽有同样的列向量(从向量组的角度看是一个组)，但A,B里列向量与同样一组系数x(x₁,x₂,x₃)的结合顺序变了，a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃≠a₂x₁+a₃x₂+a₁x₃，A与B是两个不同的矩阵了。但由于它们出自同一个向量组(向量相同)，所以，虽然Ax=y₁，Bx=y₂，且y₁≠y₂，但是y₁和y₂都处在一个平面上。
这时，A与B等秩，等价，互表。如果B里的列向量与A里的不同，可只要它们的向量都处在一个平面里(同一个子空间里)，它们就还是能互表，等价。但是，如果它们处在不同的秩为2的子空间(平面)里，它们依然等秩(2)，但一定不能互表了。可是，能不能等价呢？之前搞错的就在这里了。答案是能的，因为有“换行”的操作。
“换行”与“换列”大不同，换行不改变列向量，只改变列向量的位置，结果改变了列向量与系数的结合顺序，最终导致用同一个向量组，同一个系数做组合，却得到不同的y 。而换行并不改变向量与系数的结合顺序，换行改变的是列向量。向量一被改变(方向变了)，它们就不一定处在原来的那个平面上了。原来处在两个平面上的向量，不管进行多少次“换列”，它们还是在各自原来的平面上，它们还是没有办法互表的。但通过换行的办法，同步改变矩阵里每一个列向量的方向。本来A和B矩阵张成的平面的法向量是不同的，换列不改变A,B平面方向，但换行能。所以，A,B即使不能互表，它们还是能等价的。
3阶秩2的矩阵能互表，说明它们处在同一个平面上。但等价的矩阵不需要处在同一平面上，互表不是等价的必要条件。
A,B都是3阶秩2矩阵，说明大家都是2货，张成的都是平面；若能互表，则说明A,B平面重叠；若A，B等价而不互表，A,B平面是啥关系？
补(20200725)
我们假设题主问的向量组与矩阵里所含的向量相同。如果两个向量组，如A组或B组，它们能若够互表，我们就说它们是等价的。
用同一组向量组成可以按向其中量排序的不同，组成很多个不同的矩阵，形成A系列矩阵和B系列矩阵。A系列矩阵相互之间当然是等价的，B系列之间也是。又因为A组向量与B组向量等价，则A系列矩阵与B系列矩阵也都是等价的。
等价和等秩是啥关系？等价必然等秩，但等秩未必等价。说“未必”，那就意味着还有可能。对的。在两个矩阵都满秩时(一种等秩)，两个矩阵必定定价，因为二者必定可以互表。任何两个满秩的n维向量都是可以互表的，因为任何一个满秩矩阵可以张成的空间都是重叠的，所以是等价的。
但若不是满秩的，虽然等秩，就未必互表了。
比如一个3维空间里有两个秩同为2的矩阵，它们各自只能张成一个平面，假设一个是xoy平面上一个是xoz平面。分布在xoy平面里的任何向量组都无法组合出处于xoz平面里的向量，更遑论组了。这就是在不满秩时等秩而不能互表(等价)的一个例子。
首发(20191105)
跟Ptolemy
两个向量组等价，就是两个向量组里的向量都可以由另一个向量组里的向量线性组合而成。在这个要求下，除了向量的维数必须相同外，对两个向量组的向量个数并无相同的要求。
而矩阵等价，则意味着两个矩阵都可以经过有限的初等变换而相互变换，这样，两个矩阵的行列数都必须相同。如果把行数看成向量的维度，列数看成是向量个数的话，那么，由矩阵符号框住的"向量组"若要等价，则不仅维数要相同，向量个数也要相同了。
另外，在谈一个向量组时，我们不在乎它组内向量的排序，而在矩阵里，排序就是要命的事了，两列一换，就是另外一个矩阵了。
