从集合的角度来说，有理数集是可数无穷集合的笛卡尔积，而实数则是可数无穷集合的幂集的保序子族。
从拓扑的角度来说，有理数是可数个无处稠密集的并集，即第一纲集，而无理数则是第二纲集。
这大概就是所谓的『本质区别』。
『自然数到有理数』本质上就是整数 和去掉0的整数 进行了一次笛卡尔积，从 变为了 ，借助『康托尔配对函数』，我们实际上可以证明可数无穷集合的任意有限次笛卡尔积都和原集合等势，所以有理数和自然数等势；而从『有理数到实数』，我们实际上进行的操作是『取幂集并选取保序的子族』，而幂集的势是 ，是不等势的，所以无法一一对应，实数也就是不可数的。
接下来我们来具体说明这一点。
『有理数』是『可数无穷』的，与『离散』的自然数集等势。
常见的证明方式是这样：我们可以把所有有理数写成分数的形式，然后分别按照分子分母排列成一个方阵，如下图所示：第n行的分子均为n，第n列的分母也均为n，这样我们便能将所有的分数一一列举出来。之后，再按照一下方式在方阵中行进，便能一步一步的走遍所有的分数。
这样，我们所走的第n步，便对应着一个分数，这样我们便能一个一个地数清分数，也就是可以建立『分数和自然数之间的一一对应关系』。
这实际上也体现了我们从自然数构造有理数的方式：『自然数到有理数』本质上就是整数 和去掉0的整数 进行了一次笛卡尔积，从 变为了
上述证明方式实际上叫作康托尔配对函数，如下图所示，对于一个 的数集，我们可以借助此函数将其映射为一个 的数集。上述过程在有限次迭代后的结果也是相同的。换句话，康托尔配对函数实际上可以证明可数无穷集合的任意有限次笛卡尔积都和原集合等势。
那么，我们是如何从有理数构建出实数的呢？
熟悉戴德金分割的小伙伴们实际上会意识到，我们从有理数到实数的过程实际上在『取幂集并选取保序的子族』。对于基数为的有理数集，我们可以将其分割为两个非空集合，使得其一中所有元素均小于另一方，前者称之为左集合，后者称之为右集合；同时，左右集合的并集恰为有理数集合。显然，左右集合均是有理数集的子集，则『所有左集合的够成的集合』是『有理数集的幂集的子集』(幂集的子集往往称之为子族)。
对于有理数 来说，我们实际上相当于将有理数集分为了左集合 和右集合 ,这样恰构造了一一对应关系，故『有理左集合』的基数实际上有理数的基数完全相同。
而当左集合不存在最大元素，对应的右集合也中不存在最小元素时，这实际上便刻画出了『有理数』的空隙，此时便通过戴德金分割刻画了一个无理数。
若从此视角出发，戴德金将实数实际上都是通过『小于其数值的有理数集合』进行刻画，如此便使用了有理数集的幂集 的一个有序子集，构造了『完备』的实数，并保证了实数的序关系。换句话说，这实际上就是在说实数同构于 中满足全序过滤的特殊子族。
构造实数之后我们来证明其是不可数的。通过对角线论证，或者说康托尔不等式，对于任意集合，其幂集的基数是大于原基数的。具体方法如下：我们用大写字母来表示集合，用小写字母表示集合中的元素。考虑集合 ，其元素为 ,即 ;则其幂集为 ，幂集中的元素为 的子集，即 。
现在来证明集合 的元素个数 是不等于其幂集的元素个数 的。
那么，我们使用反证法：我们假设可以构造出集合 到其幂集 的一个双射 ，则有 。假如 等于 ,那么 中的元素和其对应的像恰能排列成一个 的方阵。现在考虑对角线相关的 和 ，若 ，我们将其相应的对角线记为1，反之记为0.
现在，我们考虑 的元素 ，我们让其包含的元素恰和对角线的标记取反，即若 ，则 ；若 ，则 。显然， 和任意的 都不相同，这样我们便构造出了 中不属于 的元素 ，所以 是不等于其幂集的元素个数 的。
我们更为熟悉的表述方式是『对角线论证法』，也就是『证明 的实数是不可数』：假设我们得到了这样的一个可以把『0-1之间的实数』和自然数一一对应关系的，我们将其写下来：
之后，我们来考虑这样一个数 ：其整数部分为0，小数点后的第n位和上述对应关系中的第n个数的第n位不同，上图中取第n个数的第n位减1模十，则这个数是不会在以上的排列中出现，所以我们漏掉了这个数字——从而我们是无法构建一个从自然数到0-1之间的实数的一一对应关系的。
